ما هي المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية ونصفها؟
المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية ونصفها هي مجموعة من المتطابقات التي تربط بين قيم الدوال المثلثية لضعف الزاوية أو نصفها. يمكن استخدام هذه المتطابقات لتحويل المعادلات والمتباينات المثلثية إلى معادلات أو متباينات أبسط، مما يسهل حلها.
بعض المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية:
- جيب الزاوية (2θ):
sin (2θ) = 2 sin θ cos θ
- جيب التمام الزاوية (2θ):
cos (2θ) = 1 - 2 sin^2 θ = 2 cos^2 θ - 1
- ظل الزاوية (2θ):
tan (2θ) = (2 tan θ) / (1 - tan^2 θ)
بعض المتطابقات المثلثية لنصف الزاوية
- جيب الزاوية (θ/2):
sin (θ/2) = √(1 - cos θ) / √2
- جيب التمام الزاوية (θ/2):
cos (θ/2) = √(1 + cos θ) / √2
- ظل الزاوية (θ/2):
tan (θ/2) = √(1 - cos θ) / √(1 + cos θ)
تطبيقات المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية ونصفها:
- حل المعادلات والمتباينات المثلثية:
يمكن استخدام المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية ونصفها لتحويل المعادلات والمتباينات المثلثية إلى معادلات أو متباينات أبسط، مما يسهل حلها.
- إثبات النظريات الرياضية:
يمكن استخدام المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية ونصفها لإثبات النظريات الرياضية حول الدوال المثلثية.
- الهندسة:
يمكن استخدام المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية ونصفها في الهندسة لحساب أطوال الأضلاع وزوايا المثلثات.
- الفيزياء:
يمكن استخدام المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية ونصفها في الفيزياء لحساب كميات فيزيائية مثل القوة والسرعة والطاقة.
ملاحظات:
- يمكن استخدام المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية ونصفها لتحويل المعادلات والمتباينات المثلثية إلى معادلات أو متباينات أبسط، مما يسهل حلها.
- يمكن استخدام المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية ونصفها لإثبات النظريات الرياضية حول الدوال المثلثية.
- المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية ونصفها لها العديد من التطبيقات في مختلف المجالات، مثل الهندسة والفيزياء.
تمارين تطبيقية:
فيما يلي بعض التمارين حول المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية ونصفها:
التمرين 1:
استخدم المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية لحساب sin (120°).
الحل:
sin (120°) = 2 sin (60°) cos (60°)
= 2 * (√3/2) * (1/2)
= √3
وبالتالي، فإن sin (120°) = √3.
التمرين 2:
استخدم المتطابقات المثلثية لنصف الزاوية لحساب cos (45°).
الحل:
cos (45°) = √(1 + cos (90°)) / √2
= √(1 + 0) / √2
= √1 / √2
= 1 / √2
= √2 / 2
وبالتالي، فإن cos (45°) = √2 / 2.
التمرين 3:
استخدم المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية لحل المعادلة التالية:
tan (2θ) = √3
الحل:
نستخدم المتطابقة tan (2θ) = (2 tan θ) / (1 - tan^2 θ) لتحويل المعادلة إلى:
(2 tan θ) / (1 - tan^2 θ) = √3
نقوم بحل المعادلة للحصول على قيمة θ:
2 tan θ = √3 - √3 tan^2 θ
0 = √3 tan^2 θ - √3 tan θ
0 = tan θ (√3 tan θ - √3)
tan θ = 0
أو
tan θ = √3
وبالتالي، فإن الحلان هما θ = 0° وθ = 60°.
هذه مجرد أمثلة قليلة على التمارين حول المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية ونصفها. يمكن العثور على المزيد من التمارين في الكتب المدرسية، أو على الإنترنت.
