العمليات على الدوال وتركيب دالتين Operations on functions and the installation of two functions



العمليات على الدوال وتركيب دالتين:

في الرياضيات، تُعرف العمليات على الدوال بأنها مجموعة من الطرق لإنشاء دوال جديدة من دوال أخرى.

أنواع العمليات على الدوال المختلفة

هناك العديد من أنواع العمليات على الدوال المختلفة، بما في ذلك:

- الجمع والطرح والضرب والقسمة:

يمكن استخدام هذه العمليات على الدوال بطريقة مماثلة لكيفية استخدامها على الأعداد. على سبيل المثال، إذا كانت f(x) = x^2 وg(x) = x^3، فإن f(x) + g(x) = x^2 + x^3.

- المركب:

يمكن استخدام تركيب الدوال لإنشاء دالة جديدة من دالتين موجودتين. على سبيل المثال، إذا كانت f(x) = x^2 وg(x) = x + 1، فإن f o g(x) = (x + 1)^2.

- التحويلات الهندسية:

يمكن استخدام التحويلات الهندسية لتغيير شكل منحنى الدالة. على سبيل المثال، إذا كانت f(x) = x^2، فإن التمدد بعامل 2 ينتج عنه الدالة g(x) = 2x^2.

تركيب الدوال:

تركيب الدوال هو عملية إنشاء دالة جديدة من دالتين موجودتين. يُعرف الدالة الجديدة باسم الدالة المُركبة.
بشكل عام، إذا كانت f(x) وg(x) هما دالتان، فإن تركيبهما، الذي يُرمز إليه f o g(x) أو (f o g)(x)، هو دالة تكون قيمتها هي قيمة الدالة f عند نقطة x مضروبة في قيمة الدالة g عند نفس النقطة x.
يمكن كتابة تركيب الدوال أيضًا على النحو التالي:
f o g(x) = f(g(x))

مثال على تركيب الدوال:

افترض أن f(x) = x^2 وg(x) = x + 1. ثم، تركيب الدوال f o g(x) هو:
f o g(x) = f(g(x)) = f(x + 1) = (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1

تطبيقات تركيب الدوال:

لدى تركيب الدوال العديد من التطبيقات في الرياضيات، مثل:

- حساب التفاضل والتكامل:

يستخدم تركيب الدوال في حساب التفاضل والتكامل لدراسة التغيرات في الدوال.

- الهندسة:

يستخدم تركيب الدوال في الهندسة لدراسة الأشكال الهندسية.

- الاقتصاد:

يستخدم تركيب الدوال في الاقتصاد لدراسة الأسواق والشركات.
وغيرها من المجالات.

تمارين تطبيقية:

فيما يلي بعض التمارين حول العمليات على الدوال وتركيب دالتين:

التمرين 1:

احسب f(g(x)) إذا كانت f(x) = x^2 وg(x) = x + 2.

الحل:

f(g(x)) = f(x + 2) = (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4

التمرين 2:

احسب g(f(x)) إذا كانت f(x) = x^2 وg(x) = 3x - 1.

الحل:

g(f(x)) = g(x^2) = 3(x^2) - 1 = 3x^2 - 1

التمرين 3:

ارسم منحنى الدالة التالية:
y = (f o g)(x)
حيث f(x) = x^2 وg(x) = x + 1.

الحل:

(f o g)(x) = f(g(x)) = f(x + 1) = (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1
يمكن رسم منحنى الدالة (f o g)(x) عن طريق رسم نقاط على المستوى الديكارتي حيث يكون x هو الإحداثي x وy هو الإحداثي y.
x | y
-2 | 9
-1 | 5
0 | 1
1 | 5
2 | 9
يمكن رسم هذه النقاط للحصول على منحنى الدالة (f o g)(x)، وهو parabola يشبه منحنى الدالة f(x) = x^2، ولكنه يبدأ عند نقطة (-1, 5).

هذه مجرد أمثلة قليلة على التمارين حول العمليات على الدوال وتركيب دالتين. يمكن العثور على المزيد من التمارين في الكتب المدرسية، أو على الإنترنت.