العَلاقات والدوال العكسية Relationships and inverse functions



العَلاقات والدوال العكسية:

في الرياضيات، تُعرف العلاقة بأنها مجموعة من أزواج الأعداد. يمكن تمثيل العلاقة باستخدام جدول أو منحنى.

العلاقات الثنائية:

العلاقات الثنائية هي العلاقات التي تربط بين كل عنصرين من مجموعة إلى مجموعة أخرى. يمكن تمثيل العلاقة الثنائية باستخدام جدول أو منحنى.

العلاقات الوظيفية:

العلاقات الوظيفية هي العلاقات التي تربط بين كل عنصر من مجموعة إلى عنصر واحد فقط من مجموعة أخرى. يمكن تمثيل العلاقة الوظيفية باستخدام جدول أو منحنى.

الدوال:

الدوال هي نوع خاص من العلاقات الوظيفية. الدوال هي العلاقات التي تربط بين كل عنصر من مجموعة إلى عنصر واحد فقط من مجموعة أخرى، بحيث لكل عنصر في المجال عنصر واحد فقط في النطاق.

الدوال العكسية:

الدوال العكسية هي دوال يكون فيها المجال هو النطاق والدالة هي الدالة العكسية.

العلاقات والدوال العكسية:

ليس كل علاقة وظيفية لها دالة عكسية. العلاقات التي لها دالة عكسية تسمى العلاقات القابلة للانعكاس.

الخصائص التي تجعل العلاقة قابلة للانعكاس:

لكي تكون العلاقة قابلة للانعكاس، يجب أن تفي بخصائص معينة.
  • يجب أن تكون العلاقة أحادية الاتجاه.
  • يجب أن تكون العلاقة واحدة لواحد.
  • يجب أن تكون العلاقة غير متقطعة.

تطبيقات العلاقات والدوال العكسية:

لدى العلاقات والدوال العكسية العديد من التطبيقات في الرياضيات، مثل:

- الجبر:

تستخدم العلاقات والدوال العكسية في الجبر لدراسة الخصائص الأساسية للأعداد والمجموعات.

- الهندسة:

تستخدم العلاقات والدوال العكسية في الهندسة لدراسة الأشكال الهندسية وخصائصها.

- الفيزياء:

تستخدم العلاقات والدوال العكسية في الفيزياء لدراسة العلاقات بين المتغيرات الفيزيائية.

- الاقتصاد:

تستخدم العلاقات والدوال العكسية في الاقتصاد لدراسة العلاقات بين المتغيرات الاقتصادية.
وغيرها من المجالات.

تمارين تطبيقية:

فيما يلي بعض التمارين حول العلاقات والدوال العكسية:

التمرين 1:

ارسم منحنى العلاقة التالية:
y = x^2

الحل:

يمكن رسم منحنى العلاقة y = x^2 عن طريق رسم نقاط على المستوى الديكارتي حيث يكون x هو الإحداثي x وy هو الإحداثي y.
x | y
-2 | 4
-1 | 1
0 | 0
1 | 1
2 | 4
يمكن رسم هذه النقاط للحصول على منحنى العلاقة y = x^2، وهو parabola.

التمرين 2:

ابحث عن الدالة العكسية للدالة التالية:
y = x^2

الحل:

يمكن العثور على الدالة العكسية للدالة y = x^2 عن طريق عكس الأدوار بين x وy.
x = y^2
يمكن كتابة هذه المعادلة على النحو التالي:
y = sqrt(x)
لذلك، فإن الدالة العكسية للدالة y = x^2 هي y = sqrt(x).

التمرين 3:

ارسم منحنى العلاقة العكسية للدالة التالية:
y = x^2

الحل:

يمكن رسم منحنى العلاقة العكسية للدالة y = x^2 عن طريق رسم نقاط على المستوى الديكارتي حيث يكون x هو الإحداثي y وy هو الإحداثي x.
y | x
-2 | 1.414
-1 | 1
0 | 0
1 | 1
2 | 1.414
يمكن رسم هذه النقاط للحصول على منحنى العلاقة العكسية للدالة y = x^2، وهو parabola مقلوبة مقارنة بمنحنى الدالة y = x^2.

هذه مجرد أمثلة قليلة على التمارين حول العلاقات والدوال العكسية. يمكن العثور على المزيد من التمارين في الكتب المدرسية، أو على الإنترنت.