المتطابقات المثلثية Trigonometric identities



ما هي المتطابقات المثلثية؟

المتطابقات المثلثية هي معادلات تربط بين الدوال المثلثية المختلفة. يمكن استخدامها لتحويل المعادلات والمتباينات المثلثية إلى معادلات أو متباينات أبسط.

بعض المتطابقات المثلثية الأساسية:

- جيب التمام الزاوية المكملة:

cos^2 (θ) + sin^2 (θ) = 1

- جيب التمام الزاوية المزدوجة:

cos (2θ) = 2 cos^2 (θ) - 1 = 1 - 2 sin^2 (θ)

- جيب الزاوية المزدوجة:

sin (2θ) = 2 sin (θ) cos (θ)

- ظل الزاوية المزدوجة:

tan (2θ) = (2 tan (θ)) / (1 - tan^2 (θ))

- جيب التمام الزاوية الثلاثية:

cos (3θ) = 4 cos^3 (θ) - 3 cos (θ)

- جيب الزاوية الثلاثية:

sin (3θ) = 3 sin (θ) - 4 sin^3 (θ)

- ظل الزاوية الثلاثية:

tan (3θ) = (3 tan (θ) - tan^3 (θ)) / (1 - 3 tan^2 (θ))

تطبيقات المتطابقات المثلثية:

لدى المتطابقات المثلثية العديد من التطبيقات في الرياضيات، مثل:

- حل المعادلات والمتباينات المثلثية:

يمكن استخدام المتطابقات المثلثية لتحويل المعادلات والمتباينات المثلثية إلى معادلات أو متباينات أبسط، مما يسهل حلها.

- إثبات النظريات الرياضية:

يمكن استخدام المتطابقات المثلثية لإثبات النظريات الرياضية حول الدوال المثلثية.

- الهندسة:

يمكن استخدام المتطابقات المثلثية في الهندسة لحساب أطوال الأضلاع وزوايا المثلثات.

- الفيزياء:

يمكن استخدام المتطابقات المثلثية في الفيزياء لحساب كميات فيزيائية مثل القوة والسرعة والطاقة.

ملاحظات:

  • المتطابقات المثلثية هي أداة مفيدة في الرياضيات ويمكن استخدامها لحل العديد من المعادلات والمتباينات المثلثية.
  • يمكن استخدام المتطابقات المثلثية لإثبات النظريات الرياضية حول الدوال المثلثية.
  • المتطابقات المثلثية لها العديد من التطبيقات في مختلف المجالات، مثل الهندسة والفيزياء.

تمارين تطبيقية:

فيما يلي بعض التمارين حول المتطابقات المثلثية:

التمرين 1:

حل المعادلة التالية باستخدام المتطابقات المثلثية:
tan^2 (θ) = 1

الحل:

نستخدم المتطابقة sin^2 (θ) + cos^2 (θ) = 1:
sin^2 (θ) + cos^2 (θ) = 1
cos^2 (θ) = 1 - sin^2 (θ)
cos^2 (θ) = 1 - tan^2 (θ)
cos^2 (θ) + tan^2 (θ) = 1
1 + tan^2 (θ) = 1
tan^2 (θ) = 1 - 1
tan^2 (θ) = 0
tan (θ) = 0
وبالتالي، فإن الحل هو θ = 45°.

التمرين 2:

اكتب المعادلة التالية باستخدام المتطابقات المثلثية:
sin (3θ) = 4 sin^3 (θ) - 3 sin (θ)

الحل:

هذه هي المتطابقة المثلثية sin (3θ) = 4 sin^3 (θ) - 3 sin (θ).

التمرين 3:

حل المتباينة التالية باستخدام المتطابقات المثلثية:
cos (θ) < sin (θ)

الحل:

نستخدم المتطابقة cos (θ) = sin (90° - θ):
sin (90° - θ) < sin (θ)
90° - θ < θ
90° < 2θ
45° < θ
وبالتالي، فإن مجموعة الحلول هي θ ∈ (45°, 90°).

هذه مجرد أمثلة قليلة على التمارين حول المتطابقات المثلثية. يمكن العثور على المزيد من التمارين في الكتب المدرسية، أو على الإنترنت.