إثبات صحة المتطابقات المثلثية Prove the correctness of trigonometric identities



كيف يمكن إثبات صحة المتطابقات المثلثية؟

يمكن إثبات صحة المتطابقات المثلثية باستخدام الهندسة، أو باستخدام تعريف الدوال المثلثية، أو باستخدام الجبر.

إثبات المتطابقات المثلثية باستخدام الهندسة:

يمكن إثبات صحة المتطابقات المثلثية باستخدام الهندسة عن طريق رسم مثلث قائم الزاوية يحتوي على الزاوية التي نريد إثباتها. يمكن استخدام خصائص المثلثات القائمة الزاوية لإثبات أن قيمة الدالة المثلثية للمقدار المطلوب تساوي قيمة الدالة المثلثية للمقدار الموجود في المتطابقة.

على سبيل المثال، يمكن إثبات صحة المتطابقة sin^2 (θ) + cos^2 (θ) = 1 باستخدام الهندسة عن طريق رسم مثلث قائم الزاوية يحتوي على الزاوية θ. يمكن بعد ذلك استخدام نظرية فيثاغورس لإثبات أن sin^2 (θ) + cos^2 (θ) = 1.

إثبات المتطابقات المثلثية باستخدام تعريف الدوال المثلثية:

يمكن إثبات صحة المتطابقات المثلثية باستخدام تعريف الدوال المثلثية عن طريق التعبير عن قيمة الدالة المثلثية للمقدار المطلوب باستخدام تعريفها، ثم التعبير عن قيمة الدالة المثلثية للمقدار الموجود في المتطابقة باستخدام تعريفها. يمكن بعد ذلك استخدام قوانين الجمع والطرح والضرب والقسمة في الرياضيات لتحويل التعبيرين إلى معادلة تساوي بعضها البعض.

على سبيل المثال، يمكن إثبات صحة المتطابقة sin (2θ) = 2 sin (θ) cos (θ) باستخدام تعريف الدوال المثلثية عن طريق التعبير عن sin (2θ) باستخدام تعريفها، ثم التعبير عن sin (θ) وcos (θ) باستخدام تعريفهما. يمكن بعد ذلك استخدام قوانين الجمع والضرب والقسمة في الرياضيات لتحويل التعبيرين إلى معادلة تساوي sin (2θ).

إثبات المتطابقات المثلثية باستخدام الجبر:

يمكن إثبات صحة المتطابقات المثلثية باستخدام الجبر عن طريق التعبير عن قيمة الدالة المثلثية للمقدار المطلوب باستخدام قوانين الجبر، ثم التعبير عن قيمة الدالة المثلثية للمقدار الموجود في المتطابقة باستخدام قوانين الجبر. يمكن بعد ذلك استخدام قوانين الجبر لتحويل التعبيرين إلى معادلة تساوي بعضها البعض.

على سبيل المثال، يمكن إثبات صحة المتطابقة cos (2θ) = 1 - 2 sin^2 (θ) باستخدام الجبر عن طريق التعبير عن cos (2θ) باستخدام تعريفها، ثم التعبير عن sin^2 (θ) باستخدام تعريفها. يمكن بعد ذلك استخدام قوانين الجبر لتحويل التعبيرين إلى معادلة تساوي cos (2θ).

ملاحظات:

  • يمكن استخدام أي من الطرق الثلاثة لإثبات صحة المتطابقات المثلثية.
  • قد يكون من الأسهل إثبات بعض المتطابقات باستخدام طريقة معينة مقارنةً بطريقة أخرى.
  • يمكن استخدام المتطابقات المثلثية لإثبات النظريات الرياضية حول الدوال المثلثية.

تمارين تطبيقية:

فيما يلي بعض التمارين حول إثبات صحة المتطابقات المثلثية:

التمرين 1:

اثبت صحة المتطابقة sin^2 (θ) + cos^2 (θ) = 1.

الحل:

يمكن إثبات صحة هذه المتطابقة باستخدام الهندسة عن طريق رسم مثلث قائم الزاوية يحتوي على الزاوية θ. يمكن بعد ذلك استخدام نظرية فيثاغورس لإثبات أن sin^2 (θ) + cos^2 (θ) = 1.

التمرين 2:

اثبت صحة المتطابقة cos (2θ) = 1 - 2 sin^2 (θ).

الحل:

يمكن إثبات صحة هذه المتطابقة باستخدام تعريف الدوال المثلثية.
sin (2θ) = 2 sin (θ) cos (θ)
cos (2θ) = 1 - sin^2 (2θ)
cos (2θ) = 1 - (2 sin (θ) cos (θ))^2
cos (2θ) = 1 - 4 sin^2 (θ) cos^2 (θ)
cos (2θ) = 1 - 2 sin^2 (θ) (1 - sin^2 (θ))
cos (2θ) = 1 - 2 sin^2 (θ) + 2 sin^4 (θ)
cos (2θ) = 2 sin^4 (θ) - 2 sin^2 (θ) + 1
وبالتالي، فإن cos (2θ) = 1 - 2 sin^2 (θ).

التمرين 3:

اثبت صحة المتطابقة tan (2θ) = (2 tan (θ)) / (1 - tan^2 (θ)).

الحل:

يمكن إثبات صحة هذه المتطابقة باستخدام الجبر.
tan (2θ) = sin (2θ) / cos (2θ)
tan (2θ) = (2 sin (θ) cos (θ)) / (1 - 2 sin^2 (θ) + 2 sin^4 (θ))
tan (2θ) = (2 sin (θ) cos (θ)) / (2 sin^2 (θ) (1 - sin^2 (θ)))
tan (2θ) = (2 sin (θ) cos (θ)) / (2 sin^2 (θ) (1 - sin^2 (θ)))
tan (2θ) = (2 sin (θ) cos (θ) (1 - sin^2 (θ))) / (2 sin^2 (θ) (1 - sin^2 (θ)))
tan (2θ) = (2 sin (θ) (1 - sin^2 (θ)) cos (θ)) / (2 sin^2 (θ) (1 - sin^2 (θ)))
tan (2θ) = (2 sin (θ) (1 - sin^2 (θ)) cos (θ)) / (2 sin^2 (θ) (1 - sin^2 (θ)))
tan (2θ) = (2 tan (θ) (1 - sin^2 (θ))) / (2 tan (θ) (1 - sin^2 (θ)))
tan (2θ) = (2 tan (θ)) / (1 - tan^2 (θ))
وبالتالي، فإن tan (2θ) = (2 tan (θ)) / (1 - tan^2 (θ)).

هذه مجرد أمثلة قليلة على التمارين حول إثبات صحة المتطابقات المثلثية. يمكن العثور على المزيد من التمارين في الكتب المدرسية، أو على الإنترنت.