الأعداد الحقيقية Real numbers: أنواعها وخصائصها.. مجموعة لا نهائية من الأرقام التي يمكن أن تمثل على خط الأعداد

الأعداد الحقيقية:

الأعداد الحقيقية هي مجموعة لا نهائية من الأرقام التي يمكن أن تمثل على خط الأعداد، وهي تشمل الأعداد النسبية وغير النسبية، والموجبة والسالبة، وحتى الصفر.

أنواع الأعداد الحقيقية:

- الأعداد النسبية:

هي الأعداد التي يمكن تمثيلها ككسر بين عددين صحيحين، مثل 1/2 و 3/4 و 5/6.

- الأعداد غير النسبية:

هي الأعداد التي لا يمكن تمثيلها ككسر بين عددين صحيحين، مثل √2 و π.

- الأعداد الموجبة:

هي الأعداد التي تكون أكبر من الصفر، مثل 1 و 2 و 3.

- الأعداد السالبة:

هي الأعداد التي تكون أصغر من الصفر، مثل -1 و -2 و -3.

- صفر:

هو عدد حقيقي لا يكون موجبًا ولا سالبًا.

خصائص الأعداد الحقيقية:

- الجمع والضرب:

يمكن جمع أو ضرب أي عددين حقيقيين للحصول على عدد حقيقي.

- الطرح والقسمة:

يمكن طرح أو قسمة أي عددين حقيقيين بشرط أن يكون المقسوم غير مساوي للصفر.

- المقارنة:

يمكن مقارنة أي عددين حقيقيين للحصول على نتيجة من بين ثلاث نتائج: يساوي، أكبر، أصغر.

استخدامات الأعداد الحقيقية:

تستخدم الأعداد الحقيقية في العديد من المجالات، منها:

- الرياضيات:

تُستخدم الأعداد الحقيقية في جميع فروع الرياضيات، مثل الجبر والهندسة والتحليل.

- الفيزياء:

تُستخدم الأعداد الحقيقية لوصف الظواهر الفيزيائية، مثل الكتلة والسرعة والزمن.

- الكيمياء:

تُستخدم الأعداد الحقيقية لوصف العناصر والمركبات الكيميائية.

- الهندسة:

تُستخدم الأعداد الحقيقية لتصميم وبناء الهياكل الهندسية.

- الاقتصاد:

تُستخدم الأعداد الحقيقية لوصف الكميات الاقتصادية، مثل الدخل والأسعار والإنتاج.

- العلوم الاجتماعية:

 تُستخدم الأعداد الحقيقية لوصف الظواهر الاجتماعية، مثل السكان والدخل والتعليم.

وبالإضافة إلى هذه المجالات، هناك العديد من المجالات الأخرى التي تستخدم الأعداد الحقيقية.

تمارين تطبيقية:

فيما يلي بعض التمارين حول الأعداد الحقيقية:

- تمرين 1:

إذا كان $a<b$، فهل يوجد عدد حقيقي $c$ بحيث $a<c<b$؟

- تمرين 2:

هل هناك عدد حقيقي $c$ بحيث $c^2=-1$؟

- تمرين 3:

إذا كان $a$ و$b$ العددان الحقيقيان الوحيدان بحيث $a^2+b^2=1$، فهل $a$ و$b$ هما الجذران الحقيقيان لـ$x^2+x-1=0$؟

- تمرين 4:

إذا كان $a$ و$b$ العددان الحقيقيان الوحيدان بحيث $a^2+b^2=1$، فهل $a$ و$b$ هما الجذران الحقيقيان لـ$x^2+2x-1=0$؟

- تمرين 5:

إذا كان $a$ و$b$ العددان الحقيقيان الوحيدان بحيث $a^2+b^2=1$، فهل $a$ و$b$ هما الجذران الحقيقيان لـ$x^2+3x-1=0$؟

الحلول:

- تمرين 1:

نعم، يوجد عدد حقيقي $c$ بحيث $a<c<b$. على سبيل المثال، يمكننا أن نأخذ $c=\frac{a+b}{2}$.

- تمرين 2:

لا، لا يوجد عدد حقيقي $c$ بحيث $c^2=-1$. وذلك لأن مربع أي عدد حقيقي موجب أو سالب.

- تمرين 3:

نعم، $a$ و$b$ هما الجذران الحقيقيان لـ$x^2+x-1=0$. وذلك لأن $a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab=(1{)}^2-2(1)(-1)=1+2=3$.

- تمرين 4:

لا، $a$ و$b$ ليسا الجذران الحقيقيان لـ$x^2+2x-1=0$. وذلك لأن $a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab=(1{)}^2-2(1)(2)=1-4=-3$.

- تمرين 5:

لا، $a$ و$b$ ليسا الجذران الحقيقيان لـ$x^2+3x-1=0$. وذلك لأن $a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab=(1{)}^2-2(1)(3)=1-6=-5$.