الصورة القطبية والصورة الديكارتية للمعادلات Polar form and Cartesian form for equations

الصورة القطبية والصورة الديكارتية للمعادلات:

يمكن تحويل الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية باستخدام الصيغ التالية:

r = \sqrt{x^2 + y^2}

\theta = \arctan \left ( \frac{y}{x} \right )

وبالتالي، يمكن تحويل أي معادلة ديكارتية إلى معادلة قطبية باستخدام هذه الصيغ.

على سبيل المثال، المعادلة الديكارتية $x^2+y^2=1$ يمكن كتابتها في صورة معادلة قطبية على النحو التالي:

r^2 = 1

وبالتالي، فإن الصورة القطبية للمعادلة الديكارتية $x^2+y^2=1$ هي دائرة مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها 1.

بالمثل، يمكن تحويل أي معادلة قطبية إلى معادلة ديكارتية باستخدام الصيغ التالية:

x = r \cos \theta

y = r \sin \theta

على سبيل المثال، المعادلة القطبية r=1 يمكن كتابتها في صورة معادلة ديكارتية على النحو التالي:

x^2 + y^2 = 1

وبالتالي، فإن الصورة الديكارتية للمعادلة القطبية r=1 هي دائرة مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها 1.

فيما يلي بعض التحويلات الشائعة بين الإحداثيات الديكارتية والإحداثيات القطبية:

المعادلة الديكارتية	المعادلة القطبية
x=a	r=acosθ
y=b	r=asinθ
x2+y2=a2	r=a
x2+y2=b2	r=bsinθ
x2−y2=a2	r=acosθ
x2−y2=b2	r=bsinθ
y=mx+b	r=m1​arctan(xy−b​)
x=my+b	r=m1​arctan(yx−b​)

يمكن استخدام هذه التحويلات لتحويل معادلات من نظام إحداثيات إلى نظام إحداثيات آخر.

تمارين تطبيقية:

فيما يلي بعض التمارين حول الصورة القطبية والصورة الديكارتية للمعادلات:

التمرين الأول:

اكتب المعادلة الديكارتية $y=x^2$ في صورة معادلة قطبية.

الحل:

يمكن تحويل المعادلة الديكارتية $y=x^2$ إلى صورة معادلة قطبية باستخدام الصيغ التالية:

r = \sqrt{x^2 + y^2}

\theta = \arctan \left ( \frac{y}{x} \right )

في هذا المثال، $x^2+y^2=x^2+x^2=2x^2$، و$\theta =\arctan \left(\frac{y}{x}\right)=\frac{\pi }{4}$. إذن، الصورة القطبية للمعادلة الديكارتية $y=x^2$ هي:

r = \sqrt{2x^2} = 2x \cos \frac{\pi}{4} = x \sqrt{2}

التمرين الثاني:

اكتب المعادلة القطبية $r=2\cos \theta$ في صورة معادلة ديكارتية.

الحل:

يمكن تحويل المعادلة القطبية r=2cosθ إلى صورة معادلة ديكارتية باستخدام الصيغ التالية:

x = r \cos \theta

y = r \sin \theta

في هذا المثال، $r=2\cos \theta$، و$x=r\cos \theta =2{\cos }^2\theta$، و$y=r\sin \theta =2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$. إذن، الصورة الديكارتية للمعادلة القطبية $r=2\cos \theta$ هي:

x^2 = 4\cos^2 \theta

y^2 = 4\sin^2 \theta

x^2 = 4 - 4\sin^2 \theta

x^2 + 4\sin^2 \theta = 4

التمرين الثالث:

ارسم الصورة الديكارتية والمعادلة القطبية للمعادلة $r=2\cos \theta$.

الحل:

يمكن رسم الصورة الديكارتية للمعادلة $r=2\cos \theta$ باستخدام الخطوات التالية:

• ارسم دائرة مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها 2.
• ارسم خطوطًا بزاوية 45∘ و90∘ و135∘ من المحور الإحداثي الإيجابي.
• ارسم نقاط على دائرة الإحداثي عند تقاطعها مع الخطوط.

يمكن رسم الصورة القطبية للمعادلة $r=2\cos \theta$ باستخدام الخطوات التالية:

• ارسم دائرة مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها 2.
• ارسم خطوطًا بزاوية 0∘ و45∘ و90∘ و135∘ و180∘ و225∘ و270∘ و315∘ من المحور الإحداثي الإيجابي.
• ارسم نقاط على دائرة الإحداثي عند تقاطعها مع الخطوط.

هذه مجرد بعض التمارين حول الصورة القطبية والصورة الديكارتية للمعادلات. هناك العديد من التمارين الأخرى التي يمكن استخدامها لتدريب الطلاب على فهم المفاهيم الأساسية لتحويل الإحداثيات.