الأعداد المركبة ونظرية ديموافر Complex numbers and De Moivre's theorem

الأعداد المركبة ونظرية ديموافر:

الأعداد المركبة هي أعداد من الشكل a+bi، حيث a وb هما رقمان حقيقيان، وi هو جذر الوحدة، وهو رقم خيالي يلبي المعادلة

$i^2=-1$.

تمثيل الأعداد المركبة في المستوى الإحداثي:

يمكن تمثيل الأعداد المركبة في المستوى الإحداثي باستخدام الإحداثيات القطبية. حيث يكون البعد الشعاعي للمتجه

$a+bi$ هو $\sqrt{a^2+b^2}$، والزاوية هي $\arctan \left(\frac{b}{a}\right)$.

تعريف نظرية ديموافر:

نظرية ديموافر هي نظرية رياضية تتعلق بقيم الجذور المركبة للمتعددة الحدود. تنص النظرية على أنه إذا كان لدينا متعددة الحدود $p(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$، فإن الجذور المركبة للمتعددة الحدود $p(x)$ تأتي في أزواج متعامدة، مع معاملات جيب التمام وجيب التمام.

على سبيل المثال، إذا كان لدينا متعددة الحدود $p(x)=x^2-1$، فإن الجذرين المركبين للمتعددة الحدود $p(x)$ هما $i$ و$-i$، حيث أن $i$ و$-i$ متعامدة، مع معاملات جيب التمام وجيب التمام $1$ و$-1$ على التوالي.

يمكن استخدام نظرية ديموافر لحل المعادلات التربيعية والمتعددة الحدود الأخرى. على سبيل المثال، إذا كان لدينا معادلة تربيعية من الشكل $a{x}^2+bx+c=0$، فإن الجذرين المركبين للمعادلة التربيعية هم:

\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

حيث يمكن استخدام نظرية ديموافر لحساب قيمة الجذرين المركبين للمعادلة التربيعية.

مجالات نظرية ديموافر:

تُستخدم نظرية ديموافر في العديد من المجالات العلمية، مثل:

- الفيزياء:

تستخدم نظرية ديموافر لوصف سلوك الموجات الكهرومغناطيسية.

- الهندسة:

تستخدم نظرية ديموافر لوصف سلوك الأنظمة الميكانيكية.

- الرياضيات:

تستخدم نظرية ديموافر لدراسة خصائص الأعداد المركبة.

تمارين تطبيقية:

فيما يلي بعض التمارين حول الأعداد المركبة ونظرية ديموافر:

التمرين الأول:

أوجد الجذور المركبة للمعادلة التربيعية $x^2+2x+1=0$.

الحل:

يمكن استخدام نظرية ديموافر لحساب الجذور المركبة للمعادلة التربيعية $x^2+2x+1=0$ على النحو التالي:

\begin{aligned}

\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} &= \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} \\

&= \frac{-2 \pm \sqrt{0}}{2} \\

&= \frac{-2 \pm 0}{2} \\

&= \boxed{-1, -1}

\end{aligned}

التمرين الثاني:

أوجد الجذور المركبة للمعادلة $z^3-1=0$.

الحل:

يمكن كتابة المعادلة $z^3-1=0$ على النحو التالي:

(z - 1)(z^2 + z + 1) = 0

حيث يمكن تحليل المعادلة $z^2+z+1=0$ باستخدام نظرية ديموافر على النحو التالي:

\begin{aligned}

\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} &= \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} \\

&= \frac{-1 \pm \sqrt{0}}{2} \\

&= \frac{-1 \pm 0}{2} \\

&= \boxed{-1, -1}

\end{aligned}

وبالتالي، فإن الجذور المركبة للمعادلة $z^3-1=0$ هي $z=1$ و$z=-1$.

التمرين الثالث:

أوجد البعد الشعاعي والزاوية للمتجه $3+4i$.

الحل:

يمكن استخدام الإحداثيات القطبية لتمثيل الأعداد المركبة. حيث يكون البعد الشعاعي للمتجه $3+4i$ هو $\sqrt{3^2+4^2}=5$، والزاوية هي $\arctan \left(\frac{4}{3}\right)\approx 53.13^{\circ }$.

التمرين الرابع:

ارسم الأعداد المركبة 1، i، و−i في المستوى الإحداثي.

الحل:

يمكن رسم الأعداد المركبة $1$، $i$، و$-i$ في المستوى الإحداثي باستخدام الإحداثيات القطبية. حيث يكون البعد الشعاعي للمتجه $1$ هو $1$، والزاوية هي $0^{\circ }$. ويكون البعد الشعاعي للمتجه $i$ هو $1$، والزاوية هي ${\frac{\pi }{2}}^{\circ }$. ويكون البعد الشعاعي للمتجه $-i$ هو $1$، والزاوية هي ${\frac{3\pi }{2}}^{\circ }$.

التمرين الخامس:

ابحث عن جميع الأعداد المركبة التي تقع على دائرة نصف قطرها 1 ومركزها نقطة الأصل.

الحل:

يمكن تمثيل جميع الأعداد المركبة التي تقع على دائرة نصف قطرها 1 ومركزها نقطة الأصل بالمعادلة التالية:

z = r \cos \theta + ri \sin \theta

حيث r=1، وθ هي زاوية أي نقطة على الدائرة.

وبالتالي، فإن جميع الأعداد المركبة التي تقع على دائرة نصف قطرها 1 ومركزها نقطة الأصل هي:

z = \cos \theta + i \sin \theta

حيث θ هي زاوية أي نقطة على الدائرة.