خصائص القطوع الزائدة Hyperbolas
القطوع الزائدة:
القطع الزائد هو شكل هندسي ثنائي الأبعاد، وهو أحد القطوع المخروطية. وينشأ القطع الزائد من قطع سطح مخروطي دائري قائم بمستو موازٍ أو عمودي على قاعدته.
خصائص القطوع الزائدة:
يتميز القطع الزائد بخصائص عديدة، منها:
- بؤرتان:
تقع البؤرتان على المحور الرئيسي للقطع الزائد، وتكون على نفس بعد الدليل من المحور الرئيسي.
- دليل:
يمر الدليل بالنقطة التي تقع على المحور الرئيسي للقطع الزائد، ويكون عموديًا على هذا المحور.
- محور رئيسي:
يمر بالبؤرتين، ويكون عموديًا على الدليل.
- محور مرافق:
يمر بالبؤرتين، ويكون موازيًا للدليل.
- رأس القطع الزائد:
هي نقطة تقع على المحور الرئيسي للقطع الزائد، وتكون على نفس بعد البؤرة من الدليل.
يمكن تعريف القطع الزائد رياضيًا على أنه المحل الهندسي للنقاط التي تبعد عن كل من البؤرتين بمقدار مختلف.
أنواع القطوع الزائدة:
يمكن تقسيم القطوع الزائدة إلى نوعين:
- القطع الزائد المفتوح:
هو القطع الزائد الذي لا تلتقي فيه الفرعان أبدًا.
- القطع الزائد المغلق:
هو القطع الزائد الذي يتقاطع فيه الفرعان مرة واحدة.
أنواع القطوع الزائدة بناءً على العلاقة بين المحور الرئيسي ومحور المرافق:
يمكن أيضًا تقسيم القطوع الزائدة إلى نوعين بناءً على العلاقة بين المحور الرئيسي ومحور المرافق:
- القطع الزائد البيضاوي:
هو القطع الزائد الذي يكون فيه طول المحور الرئيسي أكبر من طول المحور المرافق.
- القطع الزائد المنحرف:
هو القطع الزائد الذي يكون فيه طول المحور الرئيسي أصغر من طول المحور المرافق.
التطبيقات الهندسية والعلمية للقطع الزائد:
يوجد العديد من التطبيقات الهندسية والعلمية للقطع الزائد، منها:
- الرادار:
يستخدم الراديو في تجميع الإشارات الراديوية، مثلًا في الهوائيات.
- الطاقة الشمسية:
تستخدم الطاقة الشمسية في تجميع ضوء الشمس، مثلًا في الألواح الشمسية.
- العدسات:
تستخدم العدسات في تكبير أو تصغير الصور، مثلًا في العدسات المكبرة والمصغرة.
- الهندسة المعماري:
تستخدم القطوع الزائدة في تصميم المباني، مثلًا في القباب والمآذن.
- الفن:
تستخدم القطوع الزائدة في رسم الصور، مثلًا في اللوحات الفنية.
في الختام، يمكن القول أن القطع الزائد هو شكل هندسي مهم له العديد من التطبيقات في حياتنا اليومية.
تمارين تطبيقية:
فيما يلي بعض التمارين حول القطوع الزائدة:
التمرين الأول:
ارسم قطعًا زائدًا بؤرتاه (2، 0) و(-2، 0) وطول المحور الرئيسي 10.
الحل:
نبدأ بتحديد البؤرتين (2، 0) و(-2، 0). ثم نرسم خطًا يمر بالبؤرتين، ويسمى المحور الرئيسي.
ثم نرسم نقطتين على المحور الرئيسي، بحيث تكون المسافة بين كل نقطة والبؤرة أكبر من المسافة بين هذه النقطة والمحور الرئيسي. ثم نوصل هذه النقطتين بخط، وهو القطع الزائد.
التمرين الثاني:
اوجد بؤر القطع الزائد الذي يمر بالنقاط (1، 2)، (-1، 2)، (1، -2)، (-1، -2).
الحل:
نلاحظ أن القطع الزائد يمر بالنقاط (1، 2) و(-1، 2). كما نلاحظ أن المسافة بين كل من هذه النقطتين والبؤرة أكبر من المسافة بين هذه النقطة والمحور الرئيسي.
لذلك، فإن البؤر هي النقطة التي تبعد عن كل من النقطتين (1، 2) و(-1، 2) مسافة 2. أي (0، 2) و(0، -2).
التمرين الثالث:
اوجد طول المحور الرئيسي للقطع الزائد الذي يمر بالنقاط (1، 2)، (-1، 2)، (1، -2)، (-1، -2).
الحل:
نلاحظ أن القطع الزائد يمر بالنقاط (1، 2) و(-1، 2). كما نلاحظ أن المسافة بين كل من هذه النقطتين والبؤرة أكبر من المسافة بين هذه النقطة والمحور الرئيسي.
لذلك، فإن طول المحور الرئيسي هو المسافة بين البؤرة ونقطة على القطع الزائد.
كما نلاحظ أن المسافة بين كل من هذه النقطتين والبؤرة هي نفسها.
لذلك، فإن طول المحور الرئيسي هو 2.
التمرين الرابع:
اوجد طول المحور المرافق للقطع الزائد الذي يمر بالنقاط (1، 2)، (-1، 2)، (1، -2)، (-1، -2).
الحل:
نلاحظ أن القطع الزائد يمر بالنقاط (1، 2) و(-1، 2). كما نلاحظ أن المسافة بين كل من هذه النقطتين والبؤرة أكبر من المسافة بين هذه النقطة والمحور الرئيسي.
لذلك، فإن المحور المرافق للقطع الزائد يمر بنقطة على القطع الزائد، ويبعد عن البؤرة مسافة 2.
كما نلاحظ أن المسافة بين كل من هذه النقطتين والبؤرة هي نفسها.
لذلك، فإن طول المحور المرافق هو 4.
التمرين الخامس:
اوجد طول القطر الذي يمر بالنقطة (1، 2) للقطع الزائد الذي يمر بالنقاط (1، 2)، (-1، 2)، (1، -2)، (-1، -2).
الحل:
نلاحظ أن القطر الذي يمر بالنقطة (1، 2) هو الخط الذي يمر بالنقطة (1، 2) والبؤرة.
كما نلاحظ أن المسافة بين كل من هذه النقطتين والبؤرة هي نفسها.
لذلك، فإن طول القطر الذي يمر بالنقطة (1، 2) هو 4.
هذه مجرد بعض التمارين حول القطوع الزائدة. هناك العديد من التمارين الأخرى التي يمكن أن تُستخدم لتدريب الطلاب على هذه الأشكال الهندسية.
