الدوال في الرياضيات Functions in Mathematics



الدوال في الرياضيات:

في الرياضيات، الدالة هي علاقة بين مجموعة من المدخلات ومجموعة من المخرجات المسموح بها، مع وجود خاصية أن كل مدخل يرتبط بمخرج واحد بالضبط.

طرق تمثيل الدوال:

يمكن تمثيل الدوال بطرق مختلفة، مثل:

- باستخدام الكلمات:

على سبيل المثال، يمكن التعبير عن الدالة التي تربط بين طول قطعة من الخيط ووزنها باستخدام الكلمات التالية:
وزن قطعة من الخيط هو دالة لطول هذه القطعة.

- باستخدام الصيغ الرياضية:

على سبيل المثال، يمكن التعبير عن الدالة التي تربط بين درجة الحرارة وحجم كتلة الهواء باستخدام الصيغة التالية:
V = k * T
حيث:
  • V هو حجم كتلة الهواء.
  • T هي درجة الحرارة.
  • k هي ثابت.

- باستخدام الرسوم البيانية:

على سبيل المثال، يمكن تمثيل الدالة التي تربط بين المتغيرين X وY باستخدام رسم بياني.

أنواع الدوال:

يمكن تصنيف الدوال إلى عدة أنواع، منها:

- الدوال الخطية:

وهي الدوال التي يمكن تمثيلها بخط مستقيم في الرسم البياني.

- الدوال التربيعية:

وهي الدوال التي يمكن تمثيلها بقطع ناقص في الرسم البياني.

- الدوال الأسية:

وهي الدوال التي يمكن تمثيلها بمنحنى أسي في الرسم البياني.

- الدوال اللوغاريتمية:

وهي الدوال التي يمكن تمثيلها بخط لوغاريتمي في الرسم البياني.

تطبيقات في الرياضيات والعلوم:

الدوال لها العديد من التطبيقات في الرياضيات والعلوم، مثل:

- في الرياضيات:

تستخدم الدوال في حساب التفاضل والتكامل، والجبر الخطي، ونظرية الأعداد.

- في العلوم:

تستخدم الدوال في الفيزياء، والكيمياء، والأحياء، والهندسة.

- في الاقتصاد:

تستخدم الدوال في الاقتصاد القياسي، والتحليل المالي، والتسويق.
الدوال هي أداة رياضية قوية يمكن استخدامها لوصف العديد من الظواهر في العالم الحقيقي.

تمارين تطبيقية:

فيما يلي بعض التمارين على الدوال:

التمرين 1:

اكتب معادلة دالة خطية لها النقطة (3،2) كنقطة تقاطع مع محور Y، وميل 1.

الحل:

إذا كانت الدالة الخطية لها النقطة (3،2) كنقطة تقاطع مع محور Y، فإن قيمة المتغير المستقل x ستكون 3، وبالتالي فإن قيمة المتغير التابع y ستكون 2.
إذا كان ميل الدالة 1، فإن قيمة المتغير التابع y ستزداد بمقدار 1 عند زيادة قيمة المتغير المستقل x بمقدار 1. لذلك، فإن معادلة الدالة هي:
y = x + 1

التمرين 2:

اكتب معادلة دالة تربيعية لها النقطة (2،4) كنقطة تقاطع مع محور Y، وقيمة الرأس 1.

الحل:

إذا كانت الدالة التربيعية لها النقطة (2،4) كنقطة تقاطع مع محور Y، فإن قيمة المتغير التابع y ستكون 4 عندما يكون قيمة المتغير المستقل x 2.
إذا كانت قيمة الرأس 1، فإن القيمة المتوقعة للمتغير التابع y عند x = 0 ستكون 1. لذلك، فإن معادلة الدالة هي:
y = (x - 2)^2 + 1

التمرين 3:

اكتب معادلة دالة أسية لها النقطة (2،8) كنقطة تقاطع مع محور Y، وقاعدة 2.

الحل:

إذا كانت الدالة الأسية لها النقطة (2،8) كنقطة تقاطع مع محور Y، فإن قيمة المتغير التابع y ستكون 8 عندما يكون قيمة المتغير المستقل x 2.
إذا كانت القاعدة 2، فإن قيمة المتغير التابع y ستزداد بمقدار 2 عندما تزداد قيمة المتغير المستقل x بمقدار 1. لذلك، فإن معادلة الدالة هي:
y = 2^x

التمرين 4:

ارسم رسمًا بيانيًا للدالة التالية:
y = x^2 + 2x + 1

الحل:

يمكن رسم الرسم البياني للدالة عن طريق تحديد قيم x وy التي تفي بالمعادلة. يمكن ملاحظة أن الرسم البياني للدالة هو قطع ناقص.

التمرين 5:

اوجد مجال ومدى الدالة التالية:
y = 1/x

الحل:

المجال هو جميع القيم الممكنة للمتغير المستقل x. يمكن أن تكون x أي عدد حقيقي باستثناء 0، لذلك المجال هو (-∞،0)∪(0،∞).
المدى هو جميع القيم الممكنة للمتغير التابع y. يمكن أن تكون y أي عدد حقيقي غير صفري، لذلك المدى هو (-∞،0)∪(0،∞).

التمرين 6:

اوجد النقاط الحرجة للدالة التالية:
y = x^3

الحل:

النقاط الحرجة هي نقاط في الرسم البياني للدالة عندها يتغير اتجاه الانحدار. في حالة هذه الدالة، فإن الانحدار ثابت دائمًا، لذلك لا توجد نقاط حرجة.

هذه مجرد أمثلة قليلة على التمارين على الدوال. يمكن العثور على المزيد من التمارين في الكتب المدرسية، أو على الإنترنت.