البديهيات.. قضايا واضحة بذاتها صحيحة وصادقة بذاتها لا تحتاج إلى دليل على صحتها لا يمكن للعقل إثباتها أي تفرض نفسها على العقل بوضوحها لأنها تستند إلى تماسك مبادئ العقل مع ذاته

البديهيات Axioms

هي قضايا واضحة بذاتها، صحيحة وصادقة بذاتها لا تحتاج إلى دليل على صحتها برأي الكلاسيكيين، أي لا يمكن للعقل إثباتها أي تفرض نفسها على العقل بوضوحها لأنها تستند إلى تماسك مبادئ العقل مع ذاته.

فهي قضايا قبلية نشأت في العقل قبل التجربة الحسية، فهي قضايا حدسية يدركها العقل مباشرة دون برهان أو استدلال.

بديهيات إقليدس:

كما أنها قضايا تحليلية موضوعها لا يضيف علما جديدا إلى محمولها، ومنها بديهيات إقليدس التي تقول:

• إن الكل اكبر من الجزء والجزء اصغر من الكل.
• الكميتان المساويتان لكمية ثالثة متساويتان.
• وبين نقطتين لا يمكن رسم إلا مستقيما واحدا.
• وإذا أضيفت كميات متساوية إلى أخرى متساوية تكون النتائج متساوية.

مقدمات مفترضة:

البديهية هي أي افتراض يكون مقدمة لاستنتاج تصريحات أخرى منطقيا.

ويمكن أن تكون البديهية هي العبارة، الافتراض، المقولة أو القاعدة التي تشكل أساسا للنظام الشكلي.

بخلاف المبرهنات، البديهيات لا يمكن أن تشتق بمبادئ الاستنتاج، كما لا يمكن اثباتها عن طريق برهان شكلي - ببساطة لأنها مقدمات مفترضة - ليس هناك شيء آخر تستنتج منه منطقيا (والا سيفترض تسميتها نظريات).

في سياقات عديدة، "البديهيه"، و"المسلمة"، و"الافتراض" تستخدم بشكل متبادل.

حقائق نظام معرفي:

كما يتضح من التعريف، البديهية ليست بالضرورة حقيقة بينة بذاتها، ولكن بالأحرى تعبير شكلي منطقي يستعمل في الاستدلال للحصول على أكبر عدد ممكن من النتائج.

تعتبر حقائق نظام معرفي مبسطة عندما يتم إثبات أن مجموعة ما من تصريحاته يمكن استخلاصها من جمل قليلة متعارف عليها وواضحة جيدا.

وهذا لا يعني انها يمكن أن تكون معروفة بشكل مستقل؛ وهناك عادة عدة طرق لتبسيط حقائق نظام معين من المعرفة (مثل الحساب). الرياضيات تميز نوعين من البديهيات: البديهيات المنطقية والبديهيات الغير منطقية.

عدم الحاجة إلى إثبات:

البديهيات تأخذ بشكل أساسي على أنها صحيحة و لا تحتاج لإثبات و من هنا جاء اسمها ( بديهية ) قهي تعتبر بديهية الصحة ضمن هذا النظام الشكلي الذي يتشكل بناء عليها.

بطبيعة الحال هذا لا يمنع التساؤل عن مدى صواب هذه البديهيات خارج النظام الشكلي، مما يدفع آخرون لتبني نظام جديد من البديهيات ينتج عنه نظام شكلي جديد و قواعد رياضية جديدة.

أحد أشهر الأمثلة بديهيات إقليدس التي تتشكل بناء عليها الهندسة الإقليدية المستوية، وهي تختلف بشكل جذري عن هندسة منكوفسكي أو هندسة ريمان التي تتبنى بديهيات أخرى.

في الكثير من الكتب تستخدم كلمات ومصطلحات: بديهية axiom، مسلمة (رياضيات) postulate ، افتراض assumption بشكل متبادل.

في الرياضيات:

البديهية هي قضية أو مبدأ يُسلَّم به دون برهان أو دلائل تسنده؛ لأنها واضحة كالمبادئ العقلية والأوليَّات والضروريَّات. يمكن أن تكون البديهية هي العبارة، الافتراض، المقولة أو القاعدة التي تشكل أساسًا للنظام الشكلي.

في الرياضيات، تُستخدم البديهيات كأساس للبرهان على النظريات الرياضية. فهي بمثابة مجموعة من الحقائق الأساسية التي لا يمكن إثباتها، ولكن يتم قبولها على أنها صحيحة.

أنواع البديهيات:

يمكن تقسيم البديهيات إلى نوعين رئيسيين:

• البديهيات المنطقية: وهي القضايا التي تستند إلى المنطق، مثل قانون عدم التناقض وقانون الهوية.
• البديهيات غير المنطقية: وهي القضايا التي لا تستند إلى المنطق، مثل وجود الصفر ووجود الأعداد الطبيعية.

في المنطق، تُستخدم البديهيات لإنشاء نظام منطقي يسمح بالاستدلال على نتائج جديدة من القضايا الأساسية.

في الرياضيات، تُستخدم البديهيات لإنشاء نظريات رياضية تسمح بالتنبؤ بنتائج جديدة.

البديهيات الرياضية:

من الأمثلة على البديهيات الرياضية:

• قانون عدم التناقض: لا يمكن أن يكون الشيء موجودًا وغير موجود في نفس الوقت.
• قانون الهوية: كل شيء هو نفسه.
• وجود الصفر: هناك عدد لا يمكن مقارنته بأي عدد آخر.
• وجود الأعداد الطبيعية: هناك مجموعة من الأعداد التي تلبي بعض الخصائص الأساسية.

يُعتقد أن البديهيات الرياضية صحيحة، ولكن لا يمكن إثبات ذلك. ومع ذلك، فإنها تسمح لنا بإنشاء نظريات رياضية قوية وصحيحة.